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By Marchenko V. M.

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Es gibt keine Mächtigkeit zwischen No und 1'011 ' Dies ist bewiesen, wenn wir zeigen: jeder Teil von 81 82 hat entweder die Mächtigkeit N1 oder ist abzählbar. Nun hat nach Satz XII jeder solche Teil m zum Ordnungstypus eine Ordinalzahl < W t d. h. entweder die Ordinalzahl wt - dann hat mdie Mächtigkeit N1 , oder eine Ordinalzahl aus 81 & - dann ist 2! abzählbar. Damit ist Satz XV bewiesen. + + 1) § 2, Satz IV. Einleitung. § 4. Die wohlgeordneten Mengen. Die Ordinalzahlen. 23 Satz XVI. Bezeichnet m" die Mächtigkeit der Ordinalzahl a,.

N=oo Satz V. Eine Zahlenfolge {an} kann ni c h t zwei verschiedene Grenzwerte haben. Angenommen in der Tat, es wäre: lim all = a"; lim an = a'; n=oo Dann gibt es eine Zah~ a' < a". b, so daß: a' Da (1) und (2) sich widersprechen, ist Satz V bewiesen. 32 Die reellen Zahlen. Die bekannten Beweise der folgenden Sätze können WIr wohl übergehen: Satz VI. Aus liman=a, und an

Und den Zahlen x' von [a, b] hergestellt; also sind [O,lJ und [a, bJ gleichmächtig, d. h. auch [a, b] hat die Mächtigkeit c. Da (a, b), [a, b) und (a, b] sich von [a, b] nur durch endlich viele Elemente unterscheiden, sind sie (§ 2, Satz X) mit [a, b] gleichmächtig, haben daher auch die Mächtigkeit c. Durch wird eine eineindeutige Abbildung von [0, x'=tgx + (0) und (0, 1], durch + eine solche von (-;,~) und (- 00, (0) hergestellt. Es haben also auch [0,+(0) und (-00, +(0) die Mächtigkeit C, woraus nun Satz VII ganz allgemein ohne weiteres folgt.

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by Anthony
4.2

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